Question de logique

Une fois n'est pas coutume, Mauvaise Nouvelle parle mathématiques. La zone d'écriture et donc d'essai a fait fleurir des réflexions de logique dans les esprits des commentateurs d'un article politique de C. Auzies. Poursuivons un instant ces réflexions.

Des axiomes

La démarche mathématique consiste à raisonner à partir de propositions initiales, considérées comme vraies. Longtemps, ces propositions ont été appelées axiome, c'est-à-dire, une vérité évidente en elle-même qu'il est inutile et impossible de prouver. L'exemple le plus célèbre étant "le plus court chemin d'un point à un autre est la ligne droite". Depuis le XIX^ème siècle, cet énoncé n'est plus considéré comme exact, puisqu'il ne s'applique pas dans les espaces courbes : le plus court chemin entre Paris et Marseille est une courbe, par exemple. Désormais, la droite n'est le plus court chemin entre deux points que dans le cas d'un espace dit "euclidien", espace qu'Euclide utilisait déjà, mais implicitement sans l'avoir défini.

Une fois cette logique assimilée, il devient possible de définir une multitude de théories basées sur quelques propositions, avec pour seule condition l'absence de contradictions entre ces propositions, en un mot une sorte de "cohérence". Bien évidemment, les mathématiques étant au service des sciences, ces propositions cherchent à retranscrire, à modéliser une observation, et sont les hypothèses, de la physique notamment. Il n'est donc pas l'affaire du mathématicien de trancher la véracité des propositions. On notera, d'ailleurs, que les objets mathématiques les plus étranges sont nés de théories physiques et spécialement de la relativité générale, pour laquelle ont été créés les espaces de Minkowski, où le temps est une dimension au même titre que l'espace.

La logique pure

Au milieu du XIX^ème siècle, le mathématicien britannique George Boole donne naissance à une nouvelle branche des mathématiques qui s'intéresse à la logique pure. Celle-ci ne se développera que très peu du vivant de son fondateur, avant de connaitre son essort un siècle plus tard avec l'arrivée de l'informatique, qui ne connait que le vrai et le faux, le 1 et le 0.

L'algèbre de Boole formalise des règles de calculs et énonce des théorèmes qui facilitent l'analyse des propositions, et permet son automatisation. Les bases de données constituent l'élément le plus marquant de ce traitement de masse. Celles-ci permettent d'effectuer des opérations prédéfinies sur les données qu'on lui fournit, c'est-à-dire que le mode de traitement, la logique du calcul existe en dehors et avant même que les données lui soient fournies.

Toutefois, depuis la Grèce antique, bien avant George Boole, la réflexion déductive est à la base des techniques mathématiques. Ainsi, la simple application d'un théorème repose sur elle, sur le syllogisme. Voyons un exemple avec le bien connu théorème de Pythagore :

• Tout triangle rectangle a une hypoténuse telle que la mesure de son carré est égale à la somme des carrés des mesures des deux autres côtés.
• Le triangle que l'on étudie est un triangle rectangle.
• Donc le triangle que l'on étudie a une hypoténuse telle que la mesure de son carré est égale à la somme des carrés des mesures des deux autres côtés.